Макроскопическая природа трения

Вернёмся к нашему первому очерку, в котором на примере деформирования грунта были определены три фундаментальных физических свойства материи. Для «течения» грунта под воздействием колеса согласно рис.1.1 характерно увеличение скорости частиц в потоке при удалении от оси ОX. При течении жидкости или газа по трубе радиусом R (рис. 8.1) имеем обратное распределение скоростей частиц в потоке: при удалении от оси ОX скорости частиц уменьшаются, частицы тормозятся. В этом случае в уравнении (1.3) движения частиц в потоке следует изменить знак при третьем слагаемом правой части. Тогда вместо (1.5) имеем:
F = П + Ku/c + mdu/dt.

Рис. 8.1. Распределение скорости частиц жидкости или газа при течении в трубе

Для легко сжимаемой среды — газа величина модуля упругости K мала, а относительная деформация u/c велика; для практически несжимаемой среды — жидкости, напротив, u/c мало, а K велико. По указанной причине упругая составляющая Ku/c силы сопротивления деформированию должна учитываться как для газов, так и для жидкостей.

При умножении слагаемых последнего уравнения на dx и интегрировании в пределах от нуля до x = l (длина выделенного участка трубы) для начальных условий F = 0, u = 0, du/dt = 0, C = П после простых преобразований получаем:
Dp = f₁u/R² + f₂ρu²/2;
здесь Dp = (F – П)/πR² — перепад давления на выделенном участке трубы, πR²l — объём жидкости или газа в выделенном участке трубы, ρ = m/πr²l — плотность среды, f₁ @ K/πc и f₂ @ 1,0 — коэффициенты пропорциональности. Видим, что сила сопротивления течению жидкости или газа обусловлена двумя слагаемыми: первое преобладает при малых числах Рейнольдса (опыты Хагена и Пуазейля) и утверждает линейную зависимость потерь давления в потоке от его скорости; второе — при больших Re = ρlu /A (опыты А. Дарси) и предлагает квадратичную зависимость потерь напора от скорости потока.

Аналогичная процедура (скалярное умножение на вектор dx и последующее интегрирование) с векторным уравнением (1.6) приводит к исчезновению упругой составляющей [u/c, K]dx = 0 из баланса энергии вследствие колинеарности векторов u и x. В этом случае мы имеем дело с потоком несжимаемой жидкости. Если на такой поток не действуют иные внешние силы, кроме сил тяжести, то в результате преобразований приходим к уравнению Бернулли для несжимаемой (идеальной) жидкости
ρgh + p + ½ρu² = Const.

Оно определяет закон сохранения энергии вдоль линии (трубки) тока: полная энергия текущей жидкости в единице объёма определяется суммой потенциальной энергии ρgh, кинетической энергии ½ρu² и статического давления p и сохраняется постоянной; здесь g — ускорение силы тяжести, h — высота рассматриваемого элемента жидкости над расчётным уровнем. При u = 0 оно преобразуется в основное уравнение гидростатики
ρgh + p = p₀,
где p₀ — уровень отсчёта давления. Для несжимаемой жидкости справедливо также уравнение неразрывности потока
σ₁u₁ = σ₂u₂,
где σ₁ и σ₂ — площади рассматриваемых сечений потока, u₁ и u₂ — скорости потока в этих сечениях.

НАЗАД < > ВПЕРЁД

[Главная][Презентация][Очерки][Статьи][Брошюра][Изобретения][Мой архив]

Хостинг от uCoz